Question

已知函數的定義域為，對定義域內的任意x，滿足，當時，（a為常），且是函數的一個極值點，

(1)求實數a的值；

(2)如果當時，不等式恒成立，求實數m的最大值；

(3)求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)2；(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用為奇函數，所以設，利用，求出時的，然后再求時的，再根據，求出，驗證所求能夠使是函數的一個極值點；(2)不等式恒成立，轉化為恒成立，設，即求的最小值，求,再設,易求,當時，為增函數，最小， ，即逐步分析為單調遞增函數，從而求得最小值.(3)通過代入(2)式恒成立不等式，變形放縮后得到,為出現(2)要證形式，所以令,則,然后將k=1,2, n,代入上式，累加，從而得出要證不等式.此題綜合性較強.

試題解析：(1)由題知對定義域內任意，，為奇函數，

當時，，，

當時，

由題知：，解得，經驗證，滿足題意.

(2)由(1)知

當時，，令

則時，恒成立，轉化為在恒成立.

令，，則，

當時，，在上單調遞增.

當時，，在單調遞增.

則若在恒成立，則

的最大值2.

(3)由(2)知當時，有，即

則

令，則

當時，；當時，；當時，；

當時，

將以上不等式兩端分別相加得：

即.

考點：1.函數極值的應用；2.利用導數求最值；3.證明不等式的方法.