Question

已知函數f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx．
（1）若對任意的實數a，函數f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處的切線斜率總相等，求x₀的值；
（2）若a＞0，對任意x＞0，不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義，分別求出f（x）和g（x）在x=x₀處的切線的斜率，則有f′（x₀）=g′（x₀）對任意實數a總成立，從而列出關于x₀的方程，求解即可得答案；
（2）將不等式f（x）-g（x）≥1等價表示為ax+

a-1

x

-lnx≥1，令h（x）=ax+

a-1

x

-lnx，求出導函數，利用導函數的正負，確定函數h（x）的單調性，判斷出h（x）的取值范圍，從而得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx，
∴f′（x）=a+

1-a

x2

，g′（x）=

1

x

，
由題設知x₀＞0，且f′（x₀）=g′（x₀），即a+

1-a

x02

=

1

x0

，
∴a

x

2 0

-x₀+1-a=0，即a（

x

2 0

-1）+（1-x₀）=0
∵上式對任意實數a恒成立，
∴

x 2 0 -1=0 1-x0=0

，解得x₀=1，
故x₀=1；
（2）∵f(x)=ax+

a-1

x

 (a∈R)，g（x）=lnx，
∴f（x）-g（x）≥1，即ax+

a-1

x

-lnx≥1，
令h（x）=ax+

a-1

x

-lnx，則h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
又h′（x）=a+

1-a

x2

-

1

x

=

ax2-x+1-a

x2

=

a(x+1- 1 a )(x-1)

x2

（x＞0，a＞0），
①若0＜a≤

1

2

，則-1+

1

a

＞1，
∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，
則h（x）在（0，1）單調遞增，
∴h（x）＜h（1）=2a-1≤0，
這與h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，
故0＜a≤

1

2

不符合題意；
②若

1

2

＜a＜1，則0＜-1+

1

a

＜1，
∴當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
則h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）＞h（1）=2a-1，
而h（1）=2a-1＜1，
這與h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，
故

1

2

＜a＜1不符合題意；
③若a≥1，則-1+

1

a

≤0，
∴當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
則h（x）在（0，1）上單調遞減，h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2a-1≥1，即h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1符合題意．
綜合①②③，實數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，函數的恒成立問題．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．