Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂滿足k₁•k₂=2，試推斷：動直線DE是否過定點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先求得Q的坐標，再直接設出P的坐標，代入已知的式子化簡整理即可．
（2）直接設DE的直線方程y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），與曲線C的方程聯立、消元，由維達定理和AD、AE的斜率之積等于2得到k和b的關系，代入DE的直線方程，問題即可求解．

解答：解：（1）設P（x，y），則Q（-1，y）
代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
得2（x+1）=-2（x-1）+y²．
化簡得y²=4x
（2）將A（m，2）代入y²=4x，得m=1，∴A（1，2）．
設直線AD斜率為k₁，直線AE斜率為k₂，
∵k₁•k₂=2，∴DE兩點不可能關于x軸對稱．∴DE的斜率必存在，設為k．
設直線DE的方程y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
由

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
∴x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2(x1，x2≠1)
且y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
將 x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入化簡，得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，直線過定點（-1，-2）；
將b=2-k代入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．直線過定點（1，2）即為A點，舍去．
∴直線DE過定點為（-1，-2）

點評：本題考查直接法求軌跡方程、直線與拋物線的位置關系、直線過定點問題．考查推理能力和運算能力．