Question

（1）設，試比較與的大小；
（2）是否存在常數，使得對任意大于的自然數都成立？若存在，試求出的值并證明你的結論；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放縮法證明

試題分析：（Ⅰ）設，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
故函數有最小值，則恒成立      4 分
（Ⅱ）取進行驗算：




猜測：①，
②存在，使得恒成立。        6分
證明一：對，且，
有





又因，
故                  8分
從而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
證明二：
由（1）知：當時，，
設，，
則，所以，，，
當時，再由二項式定理得：

即對任意大于的自然數恒成立，          8分
從而有成立，即
所以存在，使得恒成立              10分
點評：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法。在證明時,關鍵在于分析待證不等式的結構與特征,選用適當的方法完成不等式的證明