Question

（2011•洛陽二模）已知拋物線y²=4x的焦點為F，過F的直線與該拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則

y

2 1

+

y

2 2

的最小值是（　　）

A．4

B．8

C．12

D．16

Answer 1

分析：由拋物線的方程求出其焦點坐標，設出過焦點的直線方程為x=my+1，和拋物線方程聯立后利用根與系數關系求出兩個交點的縱坐標的和與積，把要求的代數式配方后代入根與系數關系得答案．

解答：解：由題意得：焦點F為（1，0）
設直線AB的方程為x=my+1，與拋物線y²=4x聯立得：
y²-4my-4=0
△=16m²+16＞0．
應用韋達定理：
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16m²+8≥8．
∴當且僅當m=0時，

y

2 1

+

y

2 2

的值最小，最小值為8．
故選B．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了一元二次方程的根與系數關系的應用，是中檔題．