Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)的橢圓：的右焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線，分別交橢圓的右準(zhǔn)線于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求直線的方程；
（3）記，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，試問是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1），（2），（3）.

解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關(guān)鍵是找全所需條件. 橢圓中三個(gè)未知數(shù)的確定只需兩個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)橢圓定義：點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離和為，求出的值，再由求出的值，就可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，可直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；又由點(diǎn)及，可得直線方程，再由方程與橢圓方程解出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式就可寫出直線的方程，（3）直線與橢圓位置關(guān)系問題就要從其位置關(guān)系出發(fā)，先根據(jù)直線AB垂直軸的特殊情況下探求的值，再利用點(diǎn)共線及點(diǎn)在橢圓上條件，逐步消元，直到定值.本題難點(diǎn)在如何利用條件消去參數(shù). 點(diǎn)共線可得到坐標(biāo)關(guān)系，而利用點(diǎn)差法得到斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
試題解析：（1）由題意，得，即，  2分
又，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.              5分
（2），，又， ，
直線：，                       7分
聯(lián)立方程組，解得，            9分
直線：，即.          10分
（3）當(dāng)不存在時(shí)，易得,
當(dāng)存在時(shí)，設(shè)，，則，
，，兩式相減， 得，
，令，則， 12分
直線方程：，，
，直線方程：，，  14分
，又，