Question

已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．

Answer 1

（I）.（II）存在點滿足.

解析試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質得.
（II）通過研究時，可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.
證明就是滿足條件的定點.
將直線方程與橢圓方程聯立并整理，應用韋達定理，將用坐標表示，根據
得到使的點.
試題解析：（I）由題意得，              2分
解得                3分
橢圓的方程為.                4分
（II）當時，直線與橢圓交于兩點的坐標分別為，
設y軸上一點,滿足, 即，
∴解得或（舍），
則可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.        6分
下面證明就是滿足條件的定點.
設直線交橢圓于點,.
由題意聯立方程       8分
由韋達定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y軸正半軸上存在定點滿足條件.       12分
解法2：
設y軸上一點,滿足, 即，        5分
設直線交橢圓于點, .
由題意聯立方程       7分
由韋達定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由對任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在點滿足.                12分
考點：橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算.