Question

已知函數f(x)=ax³+bx²+cx+d(a，b，c，d∈R)，且函數f(x)的圖象關于原點對稱，其圖象在x=3的切線方程為8x-y-18=0.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)是否存在區間[a，b]，使得函數g(x)的定義域和值域均為[a，b]，且解析式與f(x)的解析式相同？若存在，求出這樣的一個區間[a，b]；若不存在，請說明理由.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知有f(x)是奇函數，所以b=d=0.

又在x=3的切線方程為8x-y-18=0，

所以切點為(3，6)，且f′(x)|_x=3=8.

而f′(x)=3ax²+c，所以有

即得a=，c=-1.故f(x)=x³-x.

(Ⅱ)解方程組，得x₁=0，x₂=，x₃=，且f()=，f()=.

又f′(x)=x²-1，令f′(x)=x²-1=0，得x=±1.

所以f′(x)在(-，-1)和(1，+∞)上都有f′(x)＞0，f′(x)在(-1，1)上f′(x)＜0，故f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上都為增函數，在(-1，1)上為減函數.

所以f(x)在x=1處有極小值，在x=-1處有極大值.

而極小值f(1)=＞=f()，

極大值f(-1)=＜=f()，

所以f(x)_max=，f(x)_min=.

所以f(x)在區間[，]上的值域為[,].

綜合以上得：存在區間[a，b]=[,]符合要求.