Question

已知函數，
（Ⅰ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（III）當時，證明：

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），使得當時有最小值3（III）見解析

本試題主要是考查了運用導數研究函數的最值的問題以及函數單調性的綜合運用。
（1）要是函數在給定區間遞減，則導函數在此區間上恒小于等于零，分離參數的思想得到參數的范圍。
（2）假設存在實數a，那么根據對于參數的討論得到最值。
解：（Ⅰ）在上恒成立，
令 ，有 得  得 .
方法二：在上恒成立，即在上恒成立，令，而在上單調遞減，
\
（Ⅱ）假設存在實數，使（）有最小值3，
 
①當時，在上單調遞減，，（舍去），
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增
，，滿足條件. 
③當時，在上單調遞減，，（舍去），
綜上，存在實數，使得當時有最小值3. 
（III）令，由（2）知，.令，，
當時，，在上單調遞增 
∴    
即