Question

設公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{bn}滿足bn=

2n+1Sn

n+3

，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，a32=a1a7，利用等差數(shù)列的通項公式及已知可求公差d，進而可求通項
（II）由（I）可知，Sn=

n(n+3)

2

，進而可得b_n=n•2ⁿ，利用錯位相減可求數(shù)列的和

解答：解：（I）設數(shù)列{a_n}的公差為d
∵a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列
∴a32=a1a7
∴(a1+2d)2=a₁•（a₁+6d）
∵a₁=2
∴d=1或d=0（舍去）
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1
（II）由（I）可知，Sn=

n(n+3)

2

∴b_n=n•2ⁿ
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n.2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴Tn=(n-1)•2n+1+2

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比 數(shù)列的基本運算，數(shù)列求和的錯位相減求和方法的應用是解答本題的關鍵