Question

設公差不為0的等差數列{a_n}的首項為1，且a₂，a₅，a₁₄構成等比數列．

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）若數列{b_n}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N^*，求{b_n}的前n項和T_n．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）T_n＝3－.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）主要利用等差、等比的概念來求；（Ⅱ）可以構造新數列，則＋＋…＋＝1－為其前項和，通過可求數列的通項公式，再根據可求，然后對其求和；

試題解析：(Ⅰ) 設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），則

∵a₂，a₅，a₁₄構成等比數列，

∴＝a₂a₁₄，

即(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，

解得d＝0（舍去），或d＝2．

∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1．                    4分

（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N^*，

當n＝1時，＝；

當n≥2時，＝1－－(1－)＝．

∴＝，n∈N^*．

由（Ⅰ），知a_n＝2n－1，n∈N^*，

∴b_n＝，n∈N^*．

又T_n＝＋＋＋…＋，

T_n＝＋＋…＋＋．

兩式相減，得

T_n＝＋(＋＋…＋)－＝－－，

∴T_n＝3－．                         12分

考點：等差、等比的基本概念；錯位相減求和.