Question

根據定義在集合A上的函數y=f（x），構造一個數列發生器，其工作原理如下：①輸入數據x₀∈A，計算出x₁=f（x₀）；②若x₁∉A，則數列發生器結束工作；若x₁∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計算出x₂=f（x₁），并依此規律繼續下去．若集合A={x|0＜x＜1}}，f（x）=

mx

m+1-x

（m∈N^*）．
（理）（1）求證：對任意x₀∈A，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}；
（2）若x₀=

1

2

，記a_n=

1

xn

（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，證明：3≤a_m＜4（n∈N^*）．
（文）（1）求證：對任意x0∈A，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}；
（2）若m=1，求證：數列{x_n}單調遞減；
（3）若x₀=

1

2

，記a_n=

1

xn

（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（理科）（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故對任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列；
（2）易證{b_n}是以

m+1

m

為首項，以

m+1

m

為公比的等比數列，從而求出b_n=(

m+1

m

)n，從而求出a_n=(

m+1

m

)n+1；
（3）要證3≤(

m+1

m

)m+1＜4，只需證2≤(1+

1

m

)m＜3，當m∈N^*時，利用二項式定理以及放縮法證明不等式即可．
（文科）（1）同理科（1）；
（2）m=1時，f（x）=

x

2-x

（0＜x＜1），依題意，

1

xn+1

=

2

xn

-1⇒

1

xn+1

-1=2（

1

xn

-1）⇒{

1

xn

-1}是以

1

x1

-1=2為首項，2為公比的等比數列，從而可求數列{

1

xn

-1}的通項公式，即可可證數列{x_n}單調遞減；
（3）同理科（2）．

解答：解：（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴

mx

m+1-x

＞0，又

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，
∴

mx

m+1-x

＜1，
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故對任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，
由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列
（2）由x_n+1=f（x_n）=

mxn

m+1-xn

，可得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

x

-

1

m

，
∴a_n+1=

m+1

m

a_n-

1

m

，即a_n+1-1=

m+1

m

（a_n-1）．
令b_n=a_n-1，則b_n+1=

m+1

m

b_n，又b₁=

m+1

m

，
所以{b_n}是以

m+1

m

為首項，以

m+1

m

為公比的等比數列．
∴b_n=(

m+1

m

)n，即a_n=(

m+1

m

)n+1，即a_n=b_n+1．
（3）要證3≤a_m=(

m+1

m

)m+1＜4，只需證2≤(1+

1

m

)m＜3，當m∈N^*時，
有(1+

1

m

)m=

C

0 m

•(

1

m

)0+

C

1 m

•(

1

m

)1+…+

C

m m

•(

1

m

)m≥2，
∵當k≥2時，

C

k m

•(

1

m

)k=

m(m-1)…(m-k+1)

k!

•(

1

m

)k＜

1

k!

≤

1

k-1

-

1

k

，
∴當k≥2時，(1+

1

m

)m=

C

0 m

•(

1

m

)0+

C

1 m

•(

1

m

)1+…+

C

m m

•(

1

m

)m
＜1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=3-

1

n

＜3．
又當m=1時，2≤(1+

1

1

)1=2＜3，
∴對任意的n∈N^*，都有2≤(1+

1

m

)m＜3，
∴對于任意m∈N^*，3≤a_m＜4．
文科（1）同理科（1）略；
（2）m=1時，f（x）=

x

2-x

（0＜x＜1），
依題意，x_n+1=

mxn

m+1-xn

=

xn

2-xn

，
∴

1

xn+1

=

2

xn

-1，
∴

1

xn+1

-1=2（

1

xn

-1），又x₁=

mx0

m+1-x0

=

x0

2-x0

，
∴

1

xn

-1=

2

x0

-2＞0，
∴數列{

1

xn

-1}是以

2

x0

-2為首項，2為公比的等比數列，
∴

1

xn

-1=（

2

x0

-2）•2^n-1，
∴

1

xn

=（

2

x0

-2）•2^n-1+1，顯然數列{

1

xn

}為正項遞增數列，
∴數列{x_n}為遞減數列．
（3）同理科（2）．

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，以及無窮數列的證明和二項式定理證明不等式，屬于難題．