Question

根據定義在集合A上的函數y=f（x），構造一個數列發生器，其工作原理如下：①輸入數據x∈A，計算出x=f（x）；②若x₁∉A，則數列發生器結束工作；若x₁∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計算出x₂=f（x₁），依次規律繼續下去．若集合A={x|0＜x＜1}，
（Ⅰ）求證：x∈A時，f（x）∈A．
（Ⅱ）求證：對任意x∈A，此數列發生器都可以產生一個無窮數列去{x_n}
（Ⅲ）若，記（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當x∈A，即0＜x＜1時，由m∈N^*，知m+1-x＞0．所以，由，能夠證明f（x）∈A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此規律繼續下去，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}．
（Ⅲ）由，得．所以，因為，所以{a_n-1}是首項為，公比為的等比數列．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
解答：（Ⅰ）證明：當x∈A，即0＜x＜1時，
∵m∈N^*，
∴m+1-x＞0．
∴，
∵，
∴，
∴f（x）∈A．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，對任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，
由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，
由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此規律繼續下去，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}．
（Ⅲ）解：由，
可得．
∴，
即，
∵，
∴{a_n-1}是首項為，公比為的等比數列．
∴，
∴．
點評：本題首先考查數列與函數的綜合運用，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法的合理運用．