Question

對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的生成函數．

       （1）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由；

第一組：；

第二組：；

       （2）設，生成函數．若不等式

在上有解，求實數的取值范圍；

       （3）設，取，生成函數使恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）① 設，即，取，所以是的生成函數．……………………2分

② 設，即，

則，該方程組無解．所以不是的生成函數．………4分

（2）…………………………5分

若不等式在上有解，

，即……7分

設，則，，……9分

，故，．………………………………………………………10分

（3）（解法一）由題意，對一切恒成立。

即對一切恒成立。

當時，恒成立，此時；

當時，恒成立，可得，故；

又，綜上可知， …………………18分

（解法二）由題意，得

 若，則在上遞減，在上遞增，

則，所以，得  

 若，則在上遞增，則，

所以，得．

 若，則在上遞減，則，

故，無解 

綜上可知，………………………………………………………18分