Question

已知數列的前n項的和為，且，
（1）證明數列是等比數列
（2）求通項與前n項的和；
（3）設若集合M=恰有4個元素，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見解析；（2），；（3）.

試題分析：（1）可以根據等比數列的定義證明，用后項比前項，即證是常數，這由已知易得，同時要說明；（2）由（1）是公比為的等比數列，因此它的通項公式可很快求得，即，從而，這個數列可以看作是一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所得，因此其前項和可用錯位相減法求出；（3）這里我們首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4個元素，即中只有4個不同的值不小于，故要研究數列中元素的大小，可從單調性考慮，作差，可見，，再計算后發現，因此應該滿足．
試題解析：（1）因為，當時，.
又，（）為常數，
所以是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由是以為首項，為公比的等比數列得，
所以.
由錯項相減得.
（3）因為，所以
由于
所以，，.
因為集合恰有4個元素，且，
所以.