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如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時直線l的方程．
（Ⅰ）∵圓C2：x2+y2=b2的面積為π，
∴b2π=π，即b=1．
∴a=3b=3，
橢圓方程為
x2
9
+y2=1；
（Ⅱ）（i）由題意知直線PE、ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，
不妨設直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx-1，
由
y=kx-1
x2
9
+y2=1
，得
x=
18k
9k2+1
y=
9k2-1
9k2+1
或
x=0
y=-1
．
∴P（
18k
9k2+1
，
9k2-1
9k2+1
），
用-
1
k
去代k，得M(
-18k
k2+9
，
9-k2
k2+9
)，則
t=kPM=
9k2-1
9k2+1
-
9-k2
k2+9
18k
9k2+1
+
18k
k2+9
=
k2-1
10k
．
由
y=kx-1
x2+y2=1
，得
x=
2k
1+k2
y=
k2-1
k2+1
或
x=0
y=-1
．
∴A(
2k
1+k2
，
k2-1
k2+1
)．
∴K1=
k2-1
2k
，則
K1
t
=
k2-1
2k
k2-1
10k
=5；
（ii）|PE|=
(
18k
9k2+1
)2+(
18k2
9k2+1
)2
=
18k
9k2+1
1+k2
，
|EM|=
18
k
9
k2
+1
1+
1
k2
=
18
9+k2
1+k2
．
∴S△EPM=
1
2
•
18k
9k2+1
1+k2
•
18
9+k2
1+k2

=
162k(1+k2)
(9+k2)(1+9k2)
=
162(k+k3)
9k4+82k2+9

=
162(
1
k
+k)
9k2+82+
9
k2
．
設
1
k
+k=u，
則S△EPM=
162u
82+9(u2-2)
=
162
9u+
64
u
≤
162
2
9u•
64
u
=
27
8
．
當且僅當
1
k
+k=u=
8
3
時取等號，
此時(k-
1
k
)2=(k+
1
k
)2-4=
28
9
，
∴k-
1
k
=±
2
7
3
．
則直線AB：y=
k2-1
2k
x．
∴所求的直線l的方程為：y=±
7
3
x．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=k（x+2）與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：聯立方程組：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分類討論：
（1）當A=0時，該方程恒有一解；
（2）當A≠0時，△=B2-4AC≥0恒成立．在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　　）
A．（1，
3
]		B．[
3
，+∞）		C．（1，2]D．[2，+∞）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個焦點，一條直線l經過點F1與橢圓交于A、B兩點，且△ABF2的周長為8．
（1）求實數a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于不同的兩點A、B，試確定實數a的取值范圍，使|AB|≤2p．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

k為何值時，直線y=kx+2和橢圓2x2+3y2=6有兩個交點（　　）
A．-
6
3
＜k＜
6
3
B．k＞
6
3
或k＜-
6
3
C．-
6
3
≤k≤
6
3
D．k≥
6
3
或k≤-
6
3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個動點，過B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點N（4，0）作直線h與點M的軌跡C相交于不同的兩點P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標原點）．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點，點F是橢圓C的右焦點．點D是x軸上位于A2右側的一點，且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點D的坐標；
（2）過點D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P，直線l交直線n于點Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若橢圓上的點A（1，
3
2
）到點F1、F2的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動點，求線段F1P的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點在原點、對稱軸為坐標軸且開口向右的拋物線過點M（4，-4）．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A、B，若|AB|=8，求直線l的方程．

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同步練習冊答案