Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

2

2

，A₁，A₂分別是橢圓C的左、右兩個頂點，點F是橢圓C的右焦點．點D是x軸上位于A₂右側的一點，且滿足

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=

2

|FD|

=2．
（1）求橢圓C的方程以及點D的坐標；
（2）過點D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P，直線l交直線n于點Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

（1）A₁（-a，0），A₂（a，0），F（c，0），設D（x，0），
由

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=2有

1

x+a

+

1

x-a

=2，
又|FD|=1，∴x-c=1，∴x=c+1，
于是

1

c+1+a

+

1

c+1-a

=2，
∴c+1=（c+1+a）（c+1-a），
又∵

c

a

=

2

2

⇒a=

2

c，∴c+1=(c+1+

2

c)(c+1-

2

c)，
∴c²-c=0，又c＞0，∴c=1，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C：

x2

2

+y2=1，且D（2，0）．
（2）證明：∵Q（2，2k+m），設P（x₀，y₀），
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒

x2

2

+(kx+m)2=1⇒x²+2（kx+m）²=2⇒（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
由于△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0⇒2k²-m²+1=0⇒m²=2k²+1（*），
而由韋達定理：2x0=

-4km

2k2+1

，
∴x0=

-2km

2k2+1

，
由（*）可得

-2km

m2

=-

2k

m

，∴y0=kx0+m=-

2k2

m

+m=

1

m

，∴P(-

2k

m

，

1

m

)，
設以線段PQ為直徑的圓上任意一點M（x，y），
由

MP

•

MQ

=0有(x+

2k

m

)(x-2)+(y-

1

m

)(y-(2k+m))=0⇒x2+y2+(

2k

m

-2)x+(2k+m+

1

m

)y+(1-

2k

m

)=0，
由對稱性知定點在x軸上，令y=0，取A時滿足上式，故過定點C．