Question

利用單調性的定義證明：函數f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數，并求函數f（x）=

2

x-1

，x∈[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用函數單調性的定義進行證明，并利用函數的單調性求函數的最值．

解答：解：在（1，+∞）上任意設兩個實數x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，則1＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-1)-2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數．
即函數f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是減函數，
∴當x=2時，函數f（x）取得最大值f（2）=2，
當x=6時，函數f（x）取得最小值f（6）=

2

5

．

點評：本題主要考查函數單調性的證明以及分式函數的單調性的性質的應用，利用單調性的定義是解決此類問題的基本方法．