Question

（本題滿分13分）
如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理條件限制，長不超過米。

（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2）若|AN| （單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1） ；（2）|AN|＝3米，|AM|＝米 。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN長的取值范圍是 
（2）令y＝，則y′＝
∵當，y′< 0，∴函數y＝在上為單調遞減函數，
∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）
得到結論。
解：設AN的長為x米（）
∵，∴|AM|＝
∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ -        ------------------------------------ 4分
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN長的取值范圍是                         ----------- 8分
（2）令y＝，則y′＝   -------------- 10分
∵當，y′< 0，∴函數y＝在上為單調遞減函數，
∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）
此時|AN|＝3米，|AM|＝米                      ……………… 13分