Question

如下圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析   （2）   （3）M的坐標為(2,2,0)，見解析

解：(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.
(2)∵DE⊥平面ABCD，∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60°.
∴＝.由AD＝3，得DE＝3，AF＝.
如圖所示，分別以DA，DC，DE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．
設平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則
，即.
令z＝，則n＝(4,2，)．
∵AC⊥平面BDE，
∴＝(3，－3,0)為平面BDE的一個法向量，
∴cos〈n，〉＝＝＝.
又二面角F－BE－D為銳角，故二面角F－BE－D的余弦值為.
(3)依題意，設M(t，t,0)(0≤t≤3)，則＝(t－3，t,0)，
∴AM∥平面BEF，∴·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
∴點M的坐標為(2,2,0)，此時＝，
∴點M是線段BD上靠近B點的三等分點．