Question

（本小題滿分12分）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）設，證明：當時，；
（3）若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，
證明：（x₀）＜0．

Answer 1

解：
（1） 單調增加，在單調減少.
（2）當.
故當， 
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解單調性和及證明不等式等知識的運用。
（1）先求解然后求解
對于參數a分情況討論得到單調區間。
（2）構造函數則其導數為

然后分析導數大于零或者小于零的解即可。
（3）由（1）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為，這樣結合可知分析得到結論。
解：
（1） 
（i）若單調增加.
（ii）若且
所以單調增加，在單調減少.  ………………4分
（2）設函數則
當.
故當，   ………………8分
（3）由（1）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為不妨設由（2）得從而
由（I）知，   ………………12分