Question

某工廠生產一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產一臺，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此產品的年需求量為500臺．銷售的收入函數為（萬元），其中是產品售出的數量（單位：百臺）．
（１）  把利潤表示為年產量的函數；
（２）  年產量是多少時，工廠所得利潤最大？
（３）  年產量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

（1）
（2）當時，有最大值萬元；
（3）當年產量滿足，時，工廠不虧本

（１）利潤

（２）若，則
，
所以，當時，有最大值萬元；
若，則是減函數，所以，當時，有最大值萬元．
綜上可得，年產量為500臺時，工廠所得利潤最大．
（３）當時，由，
即，解得，；
當時，，即，
解得．
綜上可得，當年產量滿足，時，工廠不虧本．