Question

甲、乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中目標的環數都穩定在7、8、9、10環，且每次射擊成績互不影響，射擊環數的頻率分布表如下：

若將頻率視為概率，回答下列問題：
（1）求表中x，y，z的值及甲運動員擊中10環的概率；
（2）求甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環以上（含9環）的概率；
（3）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，表示這3次射擊中擊中9環以上（含9環）的次數，求的分布列及

Answer 1

（1）0.35;（2）0.992;（3）2.35，分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0. 48

解析試題分析：（1）結合頻率分布表、頻率之和為1的性質和頻率的計算公式去求；（2）利用“至少有一次擊中9環以上（含9環）”的對立事件是“三次都沒有擊中9環以上（含9環）”，而且三次射擊的事件都是彼此相互獨立的，所以“三次都沒有擊中9環以上（含9環）”的概率是0.2³，再用間接法求.（3）先根據獨立事件的乘法公式求出隨機變量各取值的概率，再寫出其分布列和數學期望.
試題解析：(1)由題意可得x=100(10+10+35)=45，y=1(0.1+0.1+0.45)=0.35，
因為乙運動員的射擊環數為9時的頻率為1(0.1+0.15+0.35)=0.4，所以z=0.4×80=32，
由上可得表中x處填45，y處填0.35，z處填32．                 3分
設“甲運動員擊中10環”為事件A，則P(A)=0.35，
即甲運動員擊中10環的概率為0.35.                            4分
(2)設甲運動員擊中9環為事件A₁，擊中10環為事件A₂，則甲運動員在一次射擊中擊中9
環以上（含9環）的概率為P(A₁+A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.45+0.35=0.8，
故甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環以上（含9環）的概率
P=1[1P(A₁+A₂)]³=10.2³=0.992       7分
(3)ζ的可能取值是0，1，2，3，則P(ζ=0)=0.2²×0.25=0.01


                            10分
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0. 48

                 12分
考點：1、隨機變量概率分布列和數學期望的計算，2、互斥事件的概率，3、相互獨立事件的概率.