Question

已知圓N:（x+2）²+y²=8和拋物線C: y²= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（I）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；

（II）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，問(wèn)是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 （1） .（2）.

【解析】(I)直線l的方程為y=x+m,根據(jù)直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出AB的值。

（II）由于點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，從而可求出M的坐標(biāo)，然后利用,把此條件用坐標(biāo)表示出來(lái)，借助韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程，求出k值，再驗(yàn)證是否滿足判別式大于零

因?yàn)閳AN：，所以圓心N為（-2,0），半徑，

………1分

設(shè)，，

  （1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，設(shè)的方程為即，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，解得或（舍去）

         此時(shí)直線的方程為， ………………3分

由 消去得，所以，，，

所以弦長(zhǎng) .……………………6分

（2）①設(shè)直線的方程為即（），

          因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，

得  ①………………8分

由 消去得 ，

所以即且， ，.

因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)M為

所以，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821082796625836/SYS201207182109210756591247_DA.files/image037.png">，所以+ ，……9分

將A，B在直線上代入化簡(jiǎn)得，

.

代入，得  

化簡(jiǎn)得      ………②

①+②得

即，解得或 

       當(dāng)時(shí)，代入①解得，滿足條件且，

             此時(shí)直線的方程為；

       當(dāng)時(shí)，代入①整理得 ，無(wú)解.………………11分

②                當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以的方程為，則得，，

即

       由①得：

       =

  當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不成立.

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.