已知函數
的定義域為
，若
在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若
在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為
，所有“二階比增函數”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數
，若
且
，求實數
的取值范圍；
(Ⅱ)已知
，
且
的部分函數值由下表給出，
 |  |  |  |  |
|  | |  |  |
；
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由. （I）
(Ⅱ)見解答(Ⅲ)
.
解析試題分析：（I）理解且的意義,代入后利用函數的性質求解; (Ⅱ)通過表格得到
，再運用
為增函數建立不等式，導出
，運用
即可. (Ⅲ)判斷
即運用反證法證明
,如果
使得
則利用
即
為增函數一定可以找到一個
，使得
，對
成立;同樣用反證法證明證明
在上無解;從而得到，
對成立,即存在常數
，使得，
，有
成立,選取一個符合條件的函數
判斷
的最小值是 ,由上面證明結果確定 即是符合條件的所有函數的結果.
試題解析：（I）因為
且
，
即
在
是增函數，所以
2分
而
在不是增函數，而
當
是增函數時，有
，所以當不是增函數時，.
綜上得 4分
(Ⅱ) 因為，且
所以
，
所以
，
同理可證
，
三式相加得
所以 6分
因為
所以
而
，所以
所以
8分
(Ⅲ) 因為集合
且存在常數
,使得任取
所以，存在常數 ，使得
對成立
我們先證明對
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量
（單位：千克）與銷售價格
（單位：元/千克）滿足關系式
，其中
，
為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
我省某景區為提高經濟效益，現對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值
萬元與投入
萬元之間滿足：
為常數。當
萬元時，
萬元；
當
萬元時，
萬元。 （參考數據：
）
（1）求
的解析式；
（2）求該景點改造升級后旅游利潤
的最大值。（利潤＝旅游增加值－投入）。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（I）求函數
的極值；
（II）對于函數
和
定義域內的任意實數
,若存在常數
,使得不等式
和
都成立,則稱直線
是函數和的“分界線”．
設函數
，
，試問函數和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，函數
。
（I）記
求
的表達式；
（II）是否存在
，使函數
在區間
內的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線相互垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由。
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，若
且對任意實數
均有
成立.
表達式；
是單調函數，求實數
的取值范圍.
上的函數
對任意
都有
（
為常數）.
，
，若不等式
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍.
滿足
且對任意
都有
．
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍．