Question

已知函數.
（1）當 時，求在處的切線方程；
（2）設函數，
（ⅰ）若函數有且僅有一個零點時，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若，，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）（i）；（ii）.

試題分析：（1）將代入函數解析式，求出，由此計算與的值，最后利用點斜式寫出相應的切線方程；（2）利用參數分離法將問題轉化為直線與函數的圖象有且僅有一個交點來處理，然后利用導數來研究函數的單調性與極值，從而求出的值；（ii）將問題轉化為，然后利用導數研究在區間上最值，從而確定實數的取值范圍.
（1）當時，，定義域，
，
，又，
在處的切線方程；
（2）（ⅰ）令，
則，
即，
令，
則，
令，
，
，在上是減函數，
又，
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
，
所以當函數有且僅有一個零點時；
（ⅱ）當，，
若，，只需證明，
，
令，得或，
又，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增
又，，
，
即，，.