Question

已知兩單位向量

a

與

b

的夾角為120°，若

c

=2

a

+

b

，

d

=

b

-

a

，試求

c

與

d

的夾角θ．

Answer 1

分析：由已知中兩單位向量

a

與

b

的夾角為120°，我們易求出|

a

|²，|

b

|²及

a

•

b

的值，進而根據若

c

=2

a

+

b

，

d

=

b

-

a

，求出|

c

|，|

d

|，

c

•

d

代入向量夾角公式，即可得到答案．

解答：解：∵兩單位向量

a

與

b

的夾角為120°，
∴|

a

|²=|

b

|²=1，

a

•

b

=-

1

2

∵

c

=2

a

+

b

?|

c

|2=(2

a

+

b

)2=4+1+2×1×1×cos120°?|

c

|=

3

，…（3分）

d

=

b

-

a

?|

d

|2=(

a

-

b

)2=1+1-2×1×1×cos120°?|

d

|=

3

．           …（6分）
又cosθ=

c • d

| c || d |

=

-2+1+1×1×cos120°

3

=-

1

2

，…（9分）
且θ為兩向量的夾角，∴θ∈[0，π]．故θ=120°．                    …（12分）

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，其中cosθ=

c • d

| c || d |

，是向量求夾角的唯一公式，也是向量在幾何中應用的關鍵．