Question

已知函數，.
（1）若存在，使得，求a的取值范圍；
（2）若有兩個不同的實數解，證明：.

Answer 1

（1）(1，＋∞)；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先將已知不等式進行轉化，將所求的參數分離出來，構造新的函數，利用“單調遞增，單調遞減”判斷函數的單調性，確定函數最值的位置，并求出函數的最值，代入到所轉化的式子中即可；第二問，將方程的2個根分別代入到方程中，得到2個式子，2個式子作差，得到方程將a分離出來，對求導，將代入，將上述的a也代入，得到所求式子的左邊，只需證明即可，通過變形，只需證明即可，構造新函數，所以利用導數求函數的最小值，判斷，即.
試題解析：（1）當x∈(0，＋∞)時，f(x)＜0等價于．
令，則，
當x∈(0，1)時，g¢(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．           4分
故a的取值范圍是(1，＋∞)．          5分
（2）因f(x)＝x，即x²－lnx＝(a＋1)x有兩個不同的實數解u，v．
故u²－lnu＝(a＋1)u，v²－lnv＝(a＋1)v．
于是(u＋v)(u－v)－(lnu－lnv)＝(a＋1)(u－v)．      7分
由u－v＜0解得．
又，所以
．  9分
設，則當u∈(0，v)時，，
h(u)在(0，v)單調遞增，h(u)＜h(v)＝0，
從而，因此．       12分