Question

在數列中，.從數列中選出項并按原順序組成的新數列記為，并稱為數列的項子列.例如數列、、、為的一個項子列.
（1）試寫出數列的一個項子列，并使其為等差數列；
（2）如果為數列的一個項子列，且為等差數列，證明：的公差滿足；
（3）如果為數列的一個項子列，且為等比數列，證明：
.

Answer 1

（1）答案不唯一.如項子列，，；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據題中的定義寫出一個項子列即可；（2）對是否等于進行分類討論，結合條件“為等差數列”，利用公差推出矛盾，從而得到，再由結合證明；
（3）注意到數列各項均為有理數，從而得到數列的公比為正有理數，從而存在、使得，并對是否等于進行分類討論，結合等比數列求和公式進行證明.
試題解析：（1）答案不唯一.如項子列、、；
（2）由題意，知，
所以.
若，
由為的一個項子列，得，
所以.
因為，，
所以，即.
這與矛盾.
所以.
所以，
因為，，
所以，即，
綜上，得；
（3）由題意，設的公比為，
則.
因為為的一個項子列，
所以為正有理數，且，.
設，且、互質，）.
當時，
因為，
所以
，
，
所以.
當時，
因為是中的項，且、互質，
所以，
所以
.
因為，、，
所以.
綜上，.