Question

17.已知｛a_n｝是等比數列，a₁=2，a₃=18；｛b_n｝是等差數列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃>20.

 

（Ⅰ）求數列｛b_n｝的通項公式；

（Ⅱ）求數列｛b_n｝的前n項和S_n的公式；

（Ⅲ）設

　　　P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n－2，

　　　Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，

　　　其中n＝1，2，…，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

17.本小題主要考查等差數列、等比數列等基本知識，考查邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力.

解：（Ⅰ）設｛a_n｝的公比為q，由a₃＝a₁q²得

q²＝＝9，q=±3.

當q＝－3時，a₁+a₂+a₃=2－6+18=14<20，這與a₁+a₂+a₃>20矛盾，故舍去；

當q＝3時，a₁＋a₂+a₃=2+6+18=26>20，故符合題意.

設數列｛b_n｝的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得

4b₁＋＝26，

又b₁=2，解得d=3，

所以b_n=3n－1.

（Ⅱ）S_n=＝.

（Ⅲ）b₁，b₄，b₇，…，b_3n－2組成以3d為公差的等差數列，所以

P_n＝nb₁+·3d=；

b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8組成以2d為公差的等差數列，b₁₀＝29，

所以Q_n=nb₁₀+·2d=3n²+26n，

P_n－Q_n=（）－（3n²+26n）=n（n－19），

所以，對于正整數n，當n≥20時，P_n>Q_n；當n=19時，P_n＝Q_n；當n≤18時，P_n＜Q_n.