Question

如圖，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）證明：；
（2）證明：求二面角的余弦值；
（3）設點是平面內的動點，求的最小值．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）如圖，取的中點,連結、,

因為是正三角形，所以,又因為,所以;由,那么,所以;（2）由（1）結合條件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根據勾股定理求出,那么;（3）以為坐標原點建立直角平面坐標系，要使得最小，就是要找出點關于平面的對稱點,求出即可.因此建立如解析中空間直角坐標系求.
試題解析：（1）證明：∵ ，△是正三角形，
∴ ，
∴ ,
又∵ ,∴△是正三角形，
取中點，連結、，則
又∵，
∴,
又∵,
∴  
（2）證明：∵，由（1）知，
∴，
∴；
∵
   ∴
∵,∴ ，
在
∴
（3）解：延長至使，連結、、，
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點的坐標為，的坐標是，
則就是的最小值，

考點：立體幾何中的垂直問題；成角問題；距離問題.