Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓和其“準圓”的標準方程及其定義即可得出；
（2）先設出點B、D的坐標并求出點A的坐標，利用向量的數量積得出，再利用點B在橢圓上即可得出其取值范圍；
（3）通過分類討論，假設在橢圓C的“準圓”上任取一點P作直線與橢圓相切，聯立直線與橢圓的方程，利用根與系數的關系求出直線是否滿足兩條直線垂直的條件即可．
解答：解：（1）由題意可得：，，b=1，∴r==2．
∴橢圓C的方程為，其“準圓”的方程為x²+y²=4；
（2）由“準圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取點A（2，0）．
設點B（x，y），則D（x，-y）．
∴=（x-2，y）•（x-2，-y）=，
∵點B在橢圓上，∴，∴，
∴==，
∵，∴，
∴，即的取值范圍為
（3）①當過準圓上點P的直線l與橢圓相切且其中一條直線的斜率為0而另一條斜率不存在時，則點P為，此時l₁⊥l₂；
②當過準圓上的點P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時，設點P（x，y），直線l的方程為m（y-y）=x-x．
聯立消去x得到關于y的一元二次方程：
，
∴-=0，
化為，
∵，m存在，∴m₁m₂=．
∵點P在準圓上，∴，∴，
∴m₁m₂═-1．
即直線l₁，l₂的斜率，因此當過準圓上的點P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時，直線l₁⊥l₂．
綜上可知：在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，l₁⊥l₂．
點評：熟練掌握橢圓和圓的標準方程及其定義、向量的數量積、直線與橢圓相切問題時聯立直線與橢圓的方程得出根與系數的關系、兩條直線垂直的條件是解題的關鍵．