Question

已知函數，它的一個極值點是．
(Ⅰ) 求的值及的值域；
(Ⅱ)設函數，試求函數的零點的個數．

Answer 1

(Ⅰ) 當時，的值域為；當時，的值域為；(Ⅱ) 當時，函數有2個零點；當時，函數沒有零點．

試題分析：(Ⅰ)因為它的一個極值點是，所以有，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點個數問題．
試題解析：（1），因為它的一個極值點是，所以有，可得或．當時，分析可知：在區間單調遞減，在區間單調遞增；由此可求得，的值域為；當時，分析可知：在區間單調遞減，在區間單調遞增；由此可求得，的值域為．
(Ⅱ)函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點個數問題．．因為，所以，所以．設，則，所以函數在區間上單調遞增，所以，即有．所以．所以，函數在區間上單調遞增．
（ⅰ）當時，，，，
而，結合（1）中函數的單調性可得，此時函數的圖象與函數的圖象有2個交點，即函數有2個零點．
(ⅱ)當時，，由于，所以，此時函數的圖象與函數的圖象沒有交點，即函數沒有零點．
綜上所述，當時，函數有2個零點；當時，函數沒有零點．