Question

數列{a_n}的首項為1，前n項和是S_n，存在常數A，B使a_n+S_n=An+B對任意正整數n都成立．
（1）設A=0，求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}是等差數列，若p＜q，且，求p，q的值．
（3）設A＞0，A≠1，且對任意正整數n都成立，求M的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）A=0時，a_n+S_n=B，得出當n≥2時，由條件得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0即，從而有數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）設數列的公差為d，分別令n=1，2，3得關于A，B，C的方程，解得A，B，C．從而得出等差數列{a_n}是常數列，結合題中條件得出關于p，q的方程即可求得求p，q的值；
（Ⅲ）當n=1時，得到B=2-A所以a_n+S_n=An+（2-A），當n≥1時，由題意得出數列{a_n-A}是公比為的等比數列，下面對A進行分類討論：①當A＞1時②當0＜A＜1時．利用不等式的放縮即可得出M的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）A=0時，a_n+S_n=B，
當n≥2時，由，{得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即，所以，數列{a_n}是等比數列．（4分）
（Ⅱ）設數列的公差為d，分別令n=1，2，3得：，
{，即，{，解得，{，
即等差數列{a_n}是常數列，所以S_n=n；（7分）
又，則，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以，解得．（10分）
（Ⅲ）當n=1時，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
當n≥1時，由，{
得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即
所以，又a₁-A≠0
即數列{a_n-A}是公比為的等比數列，
所以，即，（12分）
，
①當A＞1時
且的值隨n的增大而減小，
即…，
所以，，即M的取值范圍是；（14分）
②當0＜A＜1時
且的值隨n的增大而增大，
即…＜2，
所以，M≥2，
綜上即M的取值范圍是[2，+∞）．（16分）
點評：本小題主要考查等比關系的確定、數列與不等式的綜合、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．