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（2012•鷹潭一模）設D為△ABC的邊AB上一點，P為△ABC內一點，且滿足
AD
=
λ+1
λ2+
2
λ+1
AB
，
AP
=
AD
+
λ
λ+1
BC
，λ＞0，則
S△APD
S△ABC
有（　　）
分析：根據向量關系，確定DP：BC=
λ
λ+1
，△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=
λ+1
λ2+
2
λ+1
，從而可求面積之比，再利用基本不等式，即可得到結論．
解答：解：∵
AP
=
AD
+
λ
λ+1
BC
=
AD
+
DP

∴
DP
=
λ
λ+1
BC

∴DP：BC=
λ
λ+1

∵
AD
=
λ+1
λ2+
2
λ+1
AB

∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=
λ+1
λ2+
2
λ+1

∴
S△APD
S△ABC
=
λ
λ+1
×
λ+1
λ2+
2
λ+1
=
λ
λ2+
2
λ+1
=
1
λ+
1
λ
+
2

∵λ＞0，∴λ+
1
λ
≥2，當且僅當λ=1時，取等號
∴當λ=1時，
S△APD
S△ABC
取得最大值
1
2+
2
= 
2-
2
2
=1-
2
2

故選D．
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角形的面積，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定面積之比．
練習冊系列答案
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2
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（-∞，-3]
．

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