Question

（2012•鷹潭一模）設函數f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2012π，則函數f（x）的各極大值之和為（　　）

• A．

  eπ(1-e1006π)

  1-eπ

• B．

  eπ(1-e2012π)

  1-e2π

• C．

  eπ(1-e1006π)

  1-e2π

• D．

  eπ(1-e2012π)

  1-eπ

Answer 1

分析：先求出其導函數，利用導函數求出其單調區間，進而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，再利用數列的求和方法來求函數f（x）的各極大值之和即可．

解答：解：∵函數f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）時，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時原函數遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，函數f（x）=e^x（sinx-cosx）遞減，
故當x=2kπ+π時，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤2012π，
∴函數f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π
=

eπ(1-(e2π)1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故選B．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及等比數列的求和．利用導數求得當x=2kπ+π時，f（x）取極大值是解題的關鍵，利用導數研究函數的單調性與最值是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．