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已知三點A、B、C的坐標分別為A(cosα，sinα)(α≠
kπ
4
，k∈Z)，B（3，0），C（0，3），若
AB
•
AC
=-1，求
1+sin2α-cos2α
1+tanα
的值．
分析：直接求出向量
AB
，
AC
，利用
AB
•
AC
=-1，推出sinα+cosα=
2
3
，然后利用二倍角公式，以及切化弦整理所求表達式，通過sinα+cosα=
2
3
平方求出2sinαcosα=-
5
9
，得到結果．
解答：解：
AB
=(3-cosα，-sinα)，
AC
=(-cosα，3-sinα）
∵
AC
•
BC
=-1，∴（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1（12分）
整理得：sinα+cosα=
2
3
①（5分）
1+sin2α-cos2α
1+tanα
=
2sin2α+2sinαcosα
1+
sinα
cosα

=
2sinαcosα(sinα+cosα)
sinα+cosα
=2sinαcosα（10分）
由①平方得1+2sinαcosα=
4
9
，∴2sinαcosα=-
5
9

即
1+sin2α-cos2α
1+tanα
=-
5
9
（12分）
點評：本題是中檔題，以向量的數量積為載體，考查三角函數基本公式的應用，考查計算能力，轉化思想．
練習冊系列答案
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已知三點A、B、C的坐標分別為A(cosα，sinα)(α≠
kπ
4
，k∈Z)，B（3，0），C（0，3），若
AB
•
AC
=-1，求
1+sin2α-cos2α
1+tanα
的值．

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