Question

如圖，在中，，，點在邊上，設，過點作交于，作交于。沿將翻折成使平面平面；沿將翻折成使平面平面．

（1）求證：平面；

（2）是否存在正實數，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）證明見詳解；（2）不存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）以為坐標原點，以、分別為軸、軸建立空間直角坐標系，然后通過證明向量與平面平面的法向量垂直；本小題也可考慮通過證明平面平面來證明；（2）由條件知二面角為直二面角，因此可通過兩個半平面的法向量互相垂直，即其數量積為通過建立方程來解決．

試題解析：（1）法一：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則設，

由，

從而于是，，

平面的一個法向量為，

又，，從而平面．

法二：因為，平面，所以平面，因為平面平面，且，所以平面．同理，平面，所以，從而平面．所以平面平面，從而平面．

（2）【解析】
由（1）中解法一有：，，

。可求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，由，即，又，，由于，

所以不存在正實數，使得二面角的大小為．

考點：1、空間向量的應用；2、面角；3、直線、平面的平行關系；4、探索性問題