Question

（本題滿分12分）

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P（1，）、A、B在橢圓E上，且＋＝m（m∈R）．

    （1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

    （2）當m＝－3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）;

（2）x+2y+2=0．

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）由=及解得a²=4，b²=3，

橢圓方程為；再設出點A,B，利用點差法得到斜率。

（2）由（1）知，點A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐標滿足

點P的坐標為（1，）, m=-3，    于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐標為（0，0）．即原點是△PAB的重心．

，進而得到直線的方程。

解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，

橢圓方程為；

設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即

又，，兩式相減得

;

（2）由（1）知，點A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐標滿足，

點P的坐標為（1，）, m=-3，    于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐標為（0，0）．即原點是△PAB的重心．

∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中點坐標為（，），

又，，兩式相減得

;

∴直線AB的方程為y+=（x+）,即x+2y+2=0．