Question

定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.
（Ⅰ）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；
（Ⅲ）根據“保三角形函數”的定義，對函數，，和數列1，，，（）提出一個正確的命題，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）先求出數列的通項公式，然后根據“三角形”數列的定義證明即可，（3）函數，是數列1，1+d，1+2d 的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：①1，1+d，1+2d是三角形數列，所以，即．②數列中的各項必須在定義域內，即.
③是三角形數列.由于，是單調遞減函數，所以，解得．

試題分析：（1）顯然，對任意正整數都成立，
即是三角形數列．                              2分
因為k>1，顯然有，由得，解得.
所以當時，是數列的“保三角形函數”.   5分
（2）由得,兩式相減得
所以，，
經檢驗，此通項公式滿足                7分
顯然，因為，
所以 是“三角形”數列．                         10分
（3）探究過程：　函數，是數列1，1+d，1+2d 的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：
①1，1+d，1+2d是三角形數列，所以，即．
②數列中的各項必須在定義域內，即.
③是三角形數列.
由于，是單調遞減函數，所以，解得．
點評：本題是在新定義下對數列的綜合考查．關于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會用定義來解題．