Question

某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產千件，需另投入成本為，當年產量不足80千件時，（萬元）.當年產量不小于80千件時，（萬元）.每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.

(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

(2)年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元

【解析】

試題分析：（1）根據年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜80和當x≥80兩種情況得到L與x的分段函數關系式；（2）當0＜x＜80時根據二次函數求最大值的方法來求L的最大值，當x≥80時，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可.

試題解析：（1）因為每件商品售價為0.05萬元，則千件商品銷售額為0.05×1000萬元，依題意得：

當時，

.  2分

當時，

=.  4分

所以   6分

（2）當時，

此時，當時，取得最大值萬元.    8分

當時，

當時，即時取得最大值1000萬元.   11分

所以，當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.  12分

考點：1.分段函數的值域的求法；2.二次函數的最值求法；3.函數模型的應用