Question

某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產千件，需另投入成本為，當年產量不足80千件時，（萬元）.當年產量不小于80千件時，（萬元）.每件商品售價為500元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，即時取得最大值1000萬元.

【解析】

試題分析：

對于有關利潤的題目，要注意總銷售額、成本，利潤=總銷售額-總成本，在題目中，如果含有的范圍有幾段，則要分論，函數寫成分段函數形式；則由題知每件商品售價為0.05萬元，則千件商品銷售額為萬元，在時，年利潤；在，年利潤，整理好結果用分段函數表示；（2）求利潤最大，即是求函數的最大值，由于是分段函數，則分別求出每段函數的最大值，最終比較兩段最大中的較大者，即是函數最大；由（1）可求則在時用二次函數的方法求最大，注意的范圍，在中，利用均值不等式求出，注意等號成立的條件.

試題解析：（1）由題知每件商品售價為0.05萬元，則千件商品銷售額為萬元，

當時，年利潤；

當，年利潤，

則

（2）當時，此時，當時，取得最大值萬元.  當時， ，當時，即時取得最大值1000萬元.  ，所以，當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元. 

考點：1.函數的實際應用，2.分段函數的解析式的求法，3.分段函數最大值的求解.