Question

10進制的四位自然數的反序數是指千位與個位位置對調，百位與十位位置對調的數，例如4 852的反序數就是2 584.1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar）研究了對四位自然數的一種變換：任給出四位數a_o，用a_o的四個數字由大到小重新排列成一個四位數m，再減去它的反序數n，得出數a₁=m-n，然后繼續對a₁重復上述變換，得數a₂，…，如此進行下去，卡普耶卡發現，無論a_o是多大的四位數，只要四個數字不全相同，最多進行k次上述變換，就會出現變換前后相同的四位數t．請你研究兩個10進制四位數5 298和4 852，可得k=________；四位數t=________．

Answer 1

7    6174
分析：我們不妨以5 298為例，進行變換：用5 298的四個數字由大到小重新排列成一個四位數9852．則9852-2589=7263，用7263的四個數字由大到小重新排列成一個四位數7632．則7632-2367=5265，類似地進行上述變換，可知7次變換之后，此時開始停在一個數6174上．
解答：把5 298代入計算，
用5 298的四個數字由大到小重新排列成一個四位數9852．則9852-2589=7263，
用7263的四個數字由大到小重新排列成一個四位數7632．則7632-2367=5265，
用5265的四個數字由大到小重新排列成一個四位數6552．則6552-2556=3996，
用3996的四個數字由大到小重新排列成一個四位數9963．則9963-3699=6264，
用6264的四個數字由大到小重新排列成一個四位數6642．則6642-2466=4176，
用4176的四個數字由大到小重新排列成一個四位數7641．則7641-1467=6174，
用6174的四個數字由大到小重新排列成一個四位數7641．則7641-1467=6174…
可知7次變換之后，四位數最后都會停在一個確定的數6174上．
同樣地，把4 852代入計算，可知7次變換之后，四位數最后都會停在一個確定的數6174上．
故答案為：7，6174．
點評：本題考查了進行簡單的合情推理．此類題可以選擇一個具體的數根據題意進行計算，即可得到這個確定的數．