Question

（本小題滿分12分）
已知函數．
(1)判斷其奇偶性;
(2)指出該函數在區間上的單調性并證明;
(3)利用(1)和(2)的結論,指出該函數在上的增減性.（不用證明）

Answer 1

（1）是奇函數；（2）在上是增函數。（3）由于是上的奇函數，在上又是增函數，因而該函數在上也是增函數。

本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，其中掌握函數奇偶性與單調性的定義及判定方法是解答本題的關鍵．
（1）由已知易判斷出函數的定義域為R，關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，即可根據函數奇偶性的定義，進行判斷得到結論；
（2）任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用實數的性質，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義，即可得到答案；
（3）由（1）可得函數為奇函數，由（2）可得函數在（0，1）上為增函數，根據奇函數在對稱區間上單調性相同，即可得到答案．
解：（1）函數的定義域為…………. 2分

是奇函數…………. 4分
（2）函數在上是增函數
證明：設，則
…………. 8分
，
因此函數在上是增函數………. 10分
（3）由于是上的奇函數，在上又是增函數，因而該函數在上
也是增函數………. 12分