Question

（本小題滿分16分）
已知數列滿足＝0，＝2，
且對任意m，n∈都有＋＝＋
（1）求，；
（2）設＝－( n∈)，證明：是等差數列；
（3）設＝(－)( q≠0，n∈)，求數列的前n項的和．

Answer 1

解析：（1）由題意，令m＝2，n＝1，可得＝－＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得＝－＋8＝20．
（2）當n∈時，由已知(以n＋2代替m)可得＋＝＋8，于是[－]－(－)＝8，即－＝8．所以是公差為8的等差數列．
（3）由（1）（2）可知是首項＝－＝6，公差為8的等差數列，則＝8n－2，即－＝8n－2．另由已知(令m＝1)可得，＝－．那么
－＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，于是＝．
當q＝1時，＝2＋4＋6＋…＋2n＝n (n＋1)．
當q≠1時，＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·，兩邊同乘以q，可得＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·．上述兩式相減，得
＝－2n＝－2n＝，
所以＝．
綜上所述，＝

略