Question

設函數.
（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；
（2）討論函數零點的個數；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）2；（2）當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點；（3）.

試題分析：（1）當時，，易得函數的定義域為，求出導函數，利用判定函數在定義區間內的單調性，并求出的極小值；
（2）由函數，令，得，
設，由求出函數的單調性以及極值，并且求出函數在的零點，畫出的大致圖像，并從圖像中，可以得知，當在不同范圍的時候，函數和函數的交點個數
（3）對任意恒成立，等價于恒成立，則在上單調遞減，即在恒成立，
求出的取值范圍.
試題解析：（1）當時，
易得函數的定義域為

當時，，此時在上是減函數；
當時，，此時在上是增函數；
當時，取得極小值
(2)函數
令，得
設

當時，，此時在上式增函數；
當時，，此時在上式增函數；
當時，取極大值
令，即，解得，或
函數的圖像如圖所示：

由圖知：
當時，函數和函數無交點；
②當時，函數和函數有且僅有一個交點；
③當時，函數和函數有兩個交點；
④時，函數和函數有且僅有一個交點；
綜上所述，當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點.
對任意恒成立
等價于恒成立
設
在上單調遞減
在恒成立


當且僅當當時，
的取值范圍是