Question

已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，與在第一和第四象限的交點分別為.
（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見試題解析.

解析試題分析：（1）由△AOB是邊長為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點的橫坐標是，因此可結合建立關于的方程為：，解出；（3）利用設而不求的思想，可先設三點后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡后得到：.
試題解析：（1）設橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為 
∵△是邊長為的正三角形，
∴點A的坐標是，
代入拋物線的方程解得，
故所求拋物線的方程為
（2）∵, ∴ 點的橫坐標是
代入橢圓方程解得，即點的坐標是 
∵ 點在拋物線上，
∴， 
將代入上式整理得：，
即，解得   
∵ ，故所求橢圓的離心率.
（3）證明：設，代入橢圓方程得

而直線的方程為 
令得.
在中，以代換得 
∴  .
考點：圓錐曲線；直線與圓錐曲線的位置關系.