Question

 已知數列{a_n}中，a₁＝，點(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直線y＝x上。

   （I）計算a₂，a₃，a₄的值；

   （II）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求證：數列{b_n}是等比數列；

   （III）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{}為等差數列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析 : (Ⅰ)由題意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．                                              (3分)

(Ⅱ)因為2a_n＋1－a_n＝n，

所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋＝－a_n＋＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－(2a_n＋1－n)－1＝n－a_n＋＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a＝－，所以數列{b_n}是以－為首項，為公比的等比數列． （8分）

(Ⅲ)由(2)得，b_n＝－×()＝－3×()，T_n＝＝3×()－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×()，所以a_n＝n－2＋3×()ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．         （11分）

由題意，記c_n＝．要使數列{c_n}為等差數列，只要c_n＋1－c_n為常數．

c_n＝＝＝＋(3－λ)×，

c_n－1＝＋(3－λ)×，

則c_n－c_n－1＝＋(3－λ)×(－)。

故當λ＝2時，c_n－c_n－1＝為常數，即數列{}為等差數列．         （14分）