Question

已知函數y=x³+ax²-5x+b在x=-1處取得極值2．
（I）求實數a和b；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導函數，再根據函數f（x）在x=-1處取得極值2得到，解方程即可；
（Ⅱ）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間即可．

解答：解：（1）由于f'（x）=3x²+2ax-5
而函數y=x³+ax²-5x+b在x=-1處取得極值2，則f'（-1）=0，f（-1）=2
即

3-2a-5=0 -1+a+5+b=2

解得

a=-1 b=-1

故實數a和b都為-1；
（2）由于f′（x）=3x²+2ax-5=（3x-5）（x+1）
若令f′（x）＞0，則x＜-1或x＞

5

3

；若令f′（x）＜0，則-1＜x＜

5

3

．
故f（x）的單調遞增區間為：（-∞，-1），（

5

3

，+∞）；f（x）的單調遞減區間為：（-1，

5

3

）．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數的零點和函數在某點取得極值的條件，屬于基礎題．