Question

（本題13分）已知函數f (x) = ln(e^x + a)(a為常數)是實數集R上的奇函數，函數g (x) =

f (x) + sinx是區間[1，1]上的減函數．

（1）求a的值；

（2）若g (x)≤t² +t + 1在x∈[1，1]上恒成立，求t的取值范圍；

（3）討論關于x的方程的根的個數．

 

Answer 1

解析:（1）由于f (x) 是R上的奇函數，f (0) = 0，故a = 0．……………………3分

（2）∵g (x)在[1，1]上單調遞減，∴時恒成立

，

∴只要

∴(t + 1)+ t² + sin1 + 1≥0(其中≤1)恒成立．……………………5分

令

則

∴t≤1．………………………………………………………………………………8分

（3）由（1）知．∴方程為

令f₁(x) =，f₂(x) = x² 2ex + m，

∵

當x∈(0，e)時，，∴在(0，e]上為增函數；

當x∈(e，+∞)時，，∴在（e，+∞)上為減函數；

當x = e時．

而

∴當時，即時方程無解．

當時，即時方程有一解．

當時，即時方程有二解．………………………………………13分